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3.指数関数

ここで、複素関数の花形、

eiy = cosy + isiny

を証明――と言いたいがこれを証明と言ったら数学者さんに怒られるので、「トンデモ導出」をしよう。

z x+iy e = e = exeiy

e^x は普通の実関数なので、 e^iy を e^iy = u(x,y) + iv(x,y) 実部と虚部に分けると、

z x e = e (u(y) +iv(y)) = exu(y)+ iexv(y)

e^zは微分可能じゃないと不便でしょうがないので、コーシー・リーマンの方程式 (9),(10) を満たすように定義します。

∂--x ∂--x ∂xe u(y) = ∂ye v(y) ∂ x ∂ x - ∂ye u(y) = ∂xe v(y)

より、

x x ′ e u(y) = e v(y) - exu′(y) = exv(y)

さらに、

u(y) = v′(y) ′ u (y) = - v(y)

このような関数組を満たすものは、

u(y) = kcosy v(y) = ksiny

であるから、

eiy = k cosy + ik siny (11)

そして e⁰ = 1 だから y = 0 を (11) に代入すると k = 1。

以上より、

iy e = cosy + isiny (12)

また、この式に y = π を代入して出てくる

eiπ + 1 = 0 (13)

は非常に有名な式で、 e と π、

という全く別の分野で作られた、ある意味人工的な数字が非常に単純な数で結びつけられており、多くの者を魅了している。

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