2.微分

Posted by: Celt
2009年12月21日 18:49
勉強 | 日本語

複素数 z を変数にした関数 f(z) を複素関数という。複素関数 f(z) を微分するとはどういう事であろうか。それを考えるために、まず実数を変数に取る関数（実関数）の微分について考える。

関数 f(x) の微分の定義は

df(x-)= lim f(x+-Δx-)--f(x) dx Δx→0 Δx

である。ゆえに、 Δx が微小であるとき、

df(x)≃ f(x-+-Δx-)--f(x) dx Δx

が成り立つ。ただしこの文書において「≃」は極限が等号になる近似に用いる。さて、この等式を変形すると、

df(x) f(x+ Δx ) ≃-----Δx + f(x) dx

となるが近似の記号が気持ち悪い。これを取り除くために等号にした時の誤差を o と置く。

df(x ) f (x + Δx) = ----Δx +f (x) + o。 dx

ここで、 o は Δx → 0 のときに、 Δx よりも速く 0 に近づいてくれる項である。なぜなら、そうでないと極限で o が消えてくれないからだ。つまり

∞∑ o = anΔxn n=2

といった具合である。以上をまとめると、関数 f(x) について、

f(x + Δx) = aΔx + f(x )+ o (1)

を満たす a が存在する時、 f(x) は微分可能であり、このとき

df(x-) a = dx

である。

これを複素関数 f(z) についてもそのまま適用する。

複素関数 f(z) について、

f(z +Δz ) = α Δz +f (z)+ o

を満たす α が存在する時、 f(z) は微分可能であり、このとき

df(z) α = dz 。

ここに、

z = x + iy Δz = Δx + iΔy α = a +ib

を代入する。そして更に、 f(z)(= f(x + iy)) も実部と虚部に分けることができるはずなので、

f(z) = f(x+ iy) = u(x,y)+ iv(x,y)

と置く。これらの代入をすべて実行すると、

u(x+ Δx, y+ Δy) + iv(x+ Δx, y+ Δy ) = (a+ ib)(Δx + iΔy)+ u(x,y)+ iv(x,y)+o (2)

複素数同士が等号で結ばれるということは (2) の両辺の実部同士と虚部同士がともに等しいことを意味する。

ゆえに、実部について、

u(x+ Δx, y+ Δy ) = aΔx - bΔy + u(x,y) + Reo (3)

虚部について、

v(x+ Δx, y+ Δy ) = bΔx + aΔy + v(x,y)+ Imo (4)

(3) について、 Δy = 0 のとき。

u(x +Δx, y) = aΔx + u(x,y)+ Reo

これは、 (1) と同じ形をしているので、

du(x,y) a = --dx---

となる。ただ、理論的にはこれでいいのだが、実はこの書き方はまずい。 u(x,y) のように変数が 2 つ以上ある関数について、上記の計算のように Δy = 0 として x で微分することを x で偏微分するといい、

∂u(x,y) a = ------- (5) ∂x

と表す。ずいぶん仰々しい言葉と記号だが、驚かなくてもいい。 Δy = 0 ということは、 y が変化しない、つまり y を定数としてあつかうということである。本筋とはそれるが偏微分の計算例を示す。

f (x,y) = x3y2 + x2 + y+ sin xy+ 5

について、

∂f-(x,y) 2 2 ∂x = 3yx + 2x+ ycosxy ∂f-(x,y) 3 ∂y = 2x y+ 1+ x cosxy

となる。

本題に戻ろう。 (3) で、 Δy = 0 とすると、 a = du(x,y)
--dx--- とわかった。同様に (3) で Δx = 0 とすると、

u(x,y + Δy) = - bΔy + u(x,y)+ Reo

となり、

- b = ∂u(x,y)。 (6) ∂y

(4) については、結果だけ記そう。

∂v(x,y) b = ∂x , (7) ∂v(x,y) a = ∂y 。 (8)

(5) ～ (8) より、

∂u(x,y) ∂v(x,y) (a =)--∂x--- = --∂y--- (9) (b = )- ∂u(x,y) = ∂v(x,y)- (10) ∂y ∂x

これが、コーシー・リーマンの方程式と呼ばれる複素関数を実関数と同じように微分しても良い条件である。方程式を 2 つも同時に満たしていないといけないと言う、極めて厳しい条件である。ただし、実はこの条件はもっと簡単な言葉に言い換えることができる。それは、関数 f(x + iy) が z のみの関数で、 Rez や Imz を含まないということである。例えば

f(z) = z2 + 2z + 3

という、どこででも見かけるような関数である。もちろん、こんな単純な関数が微分不可能という結果になると困ったことになる。これが (9),(10) を満たすのか試すことを演習とする。

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