2009年12月アーカイブ

ここで、複素関数の花形、

を証明――と言いたいがこれを証明と言ったら数学者さんに怒られるので、「トンデモ導出」をし よう。

以上より、

複素数 z を変数にした関数 f(z) を複素関数という。複素関数 f(z) を微分するとはどういう事で あろうか。それを考えるために、まず実数を変数に取る関数（実関数）の微分について考え る。

関数 f(x) の微分の定義は

である。ゆえに、 Δx が微小であるとき、

が成り立つ。ただしこの文書において「≃」は極限が等号になる近似に用いる。さて、この等式を 変形すると、

となるが近似の記号が気持ち悪い。これを取り除くために等号にした時の誤差を o と置 く。

ここで、 o は Δx → 0 のときに、 Δx よりも速く 0 に近づいてくれる項である。なぜなら、そう でないと極限で o が消えてくれないからだ。つまり

といった具合である。以上をまとめると、関数 f(x) について、

である。

これを複素関数 f(z) についてもそのまま適用する。

複素関数 f(z) について、

を満たす α が存在する時、 f(z) は微分可能であり、このとき

ここに、

ゆえに、実部について、

(3) について、 Δy = 0 のとき。

これは、 (1) と同じ形をしているので、

となる。ただ、理論的にはこれでいいのだが、実はこの書き方はまずい。 u(x,y) のように変数が 2 つ以上ある関数について、上記の計算のように Δy = 0 として x で微分することを x で偏微分す るといい、

について、

本題に戻ろう。 (3) で、 Δy = 0 とすると、 a = とわかった。同様に (3) で Δx = 0 と すると、

となり、

(5) ～ (8) より、

という、どこででも見かけるような関数である。もちろん、こんな単純な関数が微分不可能という 結果になると困ったことになる。これが (9),(10) を満たすのか試すことを演習とす る。

i² = -1 となる数 i を作る。方程式 x² = -1 を形式的に解くと x = ± となるので、 i² = -1 を満たす i は 2 つあるじゃないかと心配である。しかし、どちらの解を選ぼうと結果は同 じなので気にしなくていい。

この i と実数 x,y を用いて書ける数 z = x + iy を複素数という。

x を複素数 z の実部といい x = Re z と表す。また、 y を複素数 z の虚部といい y = Im z と表す。

ランダウ＝リフシッツの力学の難易度が高すぎるので、攻略メモ書いてみました。Celt専用に作ったので当然間違ってます。信用しないでください。しかも全く詳しくありません。役に立ちません。

むしろ間違いを見つけて教えてください。

ちなみに§1は欠番です。

pdfと画像版を用意する予定ですが、とりあえず画像版だけ載せておきます。

この記事には訂正があります。訂正は、画像部分の下に書いていくので、追記部分の順番はぐちゃぐちゃです。画像に載ってなくても諦めずに下を探してみてください。

Ich habe mich alles Examen dieses Jahr unterzogen. Und die Winterferein kommen bald.

Doch ich muss viel studieren, weil ich im Studium nicht gut mitkommen könnten, denn ich habe einigen schweren Unterricht, zum Beispiel Statistische Mechanik, Differentialgleichungen, Elektromagnetismus, und Theoretische Mechanik.

Obwohl dieser Statz kurz ist, will ich zu schreiben enden. Ich bin müde, weil ich alle Wortes, die ich schreiben hat.

Ich werde einmal auf Deusch schreiben..., doch ich denke etwa ein Artikel pro Jahr.