今日のお気に入り積分

Celt (2009年10月29日 14:25) | コメント(0) | トラックバック(0)
∫[-inf,inf]x^2 exp(-x^2)dx

解答例

\int_{-\infty}^{\infty} x^2 e^{-x^2} dx & = & \int_{-\infty}^{\infty} x \left(x e^{-x^2}\right) dx\\ & = & -\frac{1}{2}\left( \Bigl[x e^{-x^2}\Bigl]_{-\infty}^{\infty} -\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} dx\right) \\ & = & \frac{1}{2} \sqrt{\pi}

別解

I&:=&\int_{-\infty}^{\infty} x^2 e^{-x^2} dx\\ &=&\int_{-\infty}^{0} x^2 e^{-x^2} dx+\int_{0}^{\infty} x^2 e^{-x^2} dx\\ &=&\int_{0}^{\infty} x^2 e^{-x^2} dx+\int_{0}^{\infty} x^2 e^{-x^2} dx とする。
t = x2 とおくと dt = 2xdx, x : 0 →∞で t : 0 →∞。

I' :&=&\int_{0}^{\infty} x^2 e^{-x^2} dx\\ &=& \int_{0}^{\infty}\frac{1}{2}\sqrt{t}e^{-t}dt\\ &=& -\frac{1}{2}\left(\left[\sqrt{t}e^{-t}\right]_0^\infty-\int_0^\infty \frac{1}{2\sqrt{t}}e^{-t}dt\right)\\ &=&\frac{1}{2} \int_0^\infty e^{-x^2}dx\\ &=&\frac{1}{4}\sqrt{\pi}
ゆえに、
I = 2I′ 1√-- = 2 π

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