ottfoekstとこないだ話してたのを思い出したので問題のような問題じゃないようなものを一つ。
半径ｒの円の円周の長さ2πrを積分範囲0≦r≦rでｒについて積分すると∫(0→r)2πrdr=πｒ^2と半径rの円の面積になる理由を説明せよ。また、半径rの球の表面積4πr^2を積分範囲0≦r≦rでｒについて積分すると∫(0→r)4πr^2dr=(4πr^3)/3と半径rの球の体積になる理由を説明せよ。
※2007.05.05:誤字修正(4πr^2)/3→(4πr^3)/3
バームクーヘンな積分とタマネギでキャベツな積分
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（前半）
半径rの円と半径r+Δr(Δrは微小量)の面積の違いΔSを考える。
(1) ΔS=π(r+Δr)^2-πr^2=2πrΔr+π(Δr)^2であるがΔrは微小量なので(Δr)＾2を無視して、ΔS=2πrΔr
(2) ΔS=π(r+Δr)^2-πr^2=πr＾2(1+Δr/r)^2-πr^2となり、Δr/rは微小量であるから、ｘが微小量のときに成り立つ(1+x)^a=1+axの式を用いると、ΔS=πr＾2(1+2Δr/r)-πr^2=2πrΔr
(1),(2)のいずれにおいても2πrΔrとなるのでこれを0～rまで積分(∫(0→r)2πrdr）すればよい。積分内の式は半径rの円の円周と同じ式になっている。
補足：直感的にはコンパスで同心円を、隣り合う2つの円の円周が接するように書いていく。最終的には円が黒く塗りつぶされるため円周の積分が面積になると分かる。
(後半）
(1) (前半)で見たとおり、0→rで円周を積分すると面積になる。また面積を-r→rまで積分すると円の体積になる。(2) そして円周を-r→rまで積分すると表面積になる。
-r→rの積分は0→rの積分の2倍になる。しかも積分に関しては、定数は積分の最後に施してもｏｋである。ここで(1)では0→rの積分を最初に行い、後から-r→rの積分を行っているが、(2)では-r→rまでの積分を先に行っているので、表面積から体積を求めるためには0→rの積分でよい。
すまん、ぶっちゃけると分からんかった。てきとーにごまかしてみた。
連続コメントで悪いが、志望校をたくさんの候補から絞りきれない場合の方法をお教えしたい。それは簡単な質問である。
「今日から入試なしで大学生にしてあげます。Ａ大学とＢ大学のどちらに通いたいですか。」
この答えがあなたの本当の志望校です。