面積が１である正七角形ABCDEFGがある。この図形の周をAを基準として、時計回りに５等分しA意外の点をPQRSとする。さらに、この正七角形の中心Oから線分OA,OP、OQ、OR、OSをひき、正七角形を五つに分ける。この五つの図形の面積をそれぞれ求めよ。
……自分でも問題文の意味わかりにくいなあ…
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解説
点Oと正七角形の各辺までの距離は等しい。つまり、△OAB,△OBC,…,△OGAは全て合同な二等辺三角形でありこの、高さをhとする。また、この正七角形の周をaとする。
ところで、1/7＜1/5＜/2/7よりPはBC上にある。この四角形OABPについて考える。
四角形OABP=△OAB+△OAP
=(1/2)hAB+(1/2)hBP
=(1/2)h(AB+BP)
AB+BPは正七角形の周の1/5であるからAB+BP=(1/5)a
∴四角形OABP=(1/2)h(1/5)a…(1)
また、正三角形ABCDEFG=7(1/2)h(1/7)aと表せるから
(1/2)ha=1⇔(1/2)h(1/5)a=1/5
これを(1)に代入して
∴四角形OABP=1/5
他の多角形の面積についても、同様に高さの等しい三角形に分割することができ、底辺を結合法則により(1/5)aと表すことにより、全ての図形の面積は(1/2)h(1/5)aと表すことができる。ゆえに、これらの図形の面積は全て1/5である……(答)
……